Szinte minden középiskolás meg tudja mondani, hogy a másodfokú algebrai egyenletnek az együtthatók függvényében mikor van  valós megoldása vagy hogy a négyzetes közép és az aritmetikai közép között milyen nevezetes reláció áll fenn. Ebben az előadásban arra keressük a választ, hogy lehet-e egy univerzális, algoritmikus megoldást adni arra a bonyolultabb kérdésre, hogy a valós számhalmaz felett mikor létezik egy tetszőleges algebrai egyenleteket és egyenlőtlenségeket tartalmazó rendszernek megoldása. Az ilyen rendszerek elméleti vizsgálata és gyakorlati megoldása még akkor sem feltétlen egyszerű, ha az alaphalmazunk véges. Tarski és Collins komoly eredményei a XX. század második feléből azt mondják, hogy van erre a problémaosztályra univerzális eljárásunk, ám az algoritmus elméleti bonyolultsága nagy, ami meglehetősen kellemetlen már a kevés változót tartalmazó probléma gyakorlati megoldása esetén is.

Felvillantjuk a problémakörrel kapcsolatos logikai, algebrai és geometriai fogalmakat és demonstráljuk egy-két elemi probléma esetén a formalizálás és az algoritmikus problémamegoldás lépéseit is. Kiderül, hogy a megoldás az r-dimenziós tér egy speciális felbontásán alapul és alacsonyabb dimenziókban a felbontás alapköveiként szolgáló izgalmas, un. félalgebrai halmazokat vizualizálni is tudjuk (lásd mellékelt ábra). Az algoritmus számos szabad és kereskedelmi szoftvercsomagban elérhető; mi a Mathematica-ban található verziót mutatjuk be.