2. dolgozat
2012/2013 tanév, őszi félév

A. változat

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=((x-1 )/(x^3)) függvény azon primitív függvényét, amelyre F(1)=1. 
Határozza meg az F(x) szélsőérték- és inflexiós helyeit.

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 4+6 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál 7+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫ln(x) (x-(1/x))dx.

Határozott integrál grafikusan, 5 pont

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-3,4] intervallumon.

f:=Interpolation[{{-3,1},{-1,0},{0,0},{2,-2},{4,1}},InterpolationOrder->1]
Plot[-f[-x],{x,-3,4},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=-(x^4) és g(x)=(x^3)-2(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, 10 pont

A vérben a gyógyszer mennyisége az m(t)=(e^(-t))-(e^(-2t)) függvény szerint változik. Mennyi a gyógyszer átlagos menyisége a (Subscript[t, 1])=0 és (Subscript[t, 2])=2 pillanatok között.

Numerikus integrál, 5 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1.5,1] intervallumon vett integráljának trapézközelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-2.5+2Evaluate[(-0.3(x+1.5)(x)^2(x-2)+1)/.(x->(-x))]
Plot[f[x],{x,-1.5,1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-2,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-0.7,1}]

Változás, 20 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=(t^3)-(t^2) (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének idõbeli változását, ha v(0)=0  és  s(0)=2.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=3  másodpercek között?
c) (5 pont) Határozza meg az  s(t) függvény minimumát.

Differenciálegyenletek, infúzió, 15 pont

A  k=0.5 szaporodási rátájú sejtpopulációból 2 g/perc sebességgel vonunk ki sejteket. Ezért a folyamatot az  m'(t)=0.5m (t)-1.5   differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=2 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)

B. változat

Fontos : Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Primitív függvény keresés.  10 pont

Határozza meg az f(x)=(x^2)(x-1)  függvény azon primitív függvényét, amelyre F(0)=1. 
Határozza meg az F(x) szélsőérték- és inflexiós helyeit.

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 4+6 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál 7+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy parciális integrálás módszerével:

∫sin(x) (2x-(1/((cos^3)(x))))dx.

Határozott integrál grafikusan, 5 pont

f:=Interpolation[{{-4,2},{-2,2},{0,0},{1,-2},{3,1},{5,1}},InterpolationOrder->1]
Plot[-f[-x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=(x^4)   és g(x)=(x^3)+2(x^2) függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Integrálközép, 10 pont

A vérben az infúzió során a gyógyszer mennyisége az m(t)=2(1-(e^(-t))) függyvény szerint változik. Mennyi a gyógyszer átlagos menyisége a (Subscript[t, 1])=0 és (Subscript[t, 2])=3 pillanatok között.

Numerikus integrál, 5 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,2] intervallumon vett integráljának trapéz-közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=0.5-(-0.3(x+2)(x)^2(x-2))
Plot[f[x],{x,-1.2,2.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},PlotRange->{-1,1},GridLines->{Range[-1,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic]

Változás, 20 pont

Egy test gyorsulását az a(t)=(t^2)-t (m/(s^(2 ))) függvény írja le.  Határozza meg a test helyzetének időbeli változását, ha v(0)=1  és  s(0)=2.

a) (10 pont)  Határozza meg a v(t) és s(t) függvényt. 
b) (5 pont) Mennyi az átlagsebesség  a (Subscript[t, 1])=0    és  (Subscript[t, 2])=2  másodpercek között?
c) (5 pont) Határozza meg az  s(t) függvény inflexiós helyeit.

Differenciálegyenletek, infúzió, 15 pont

A  k=0.5 kiürülési rátájú gyógyszert 2 mg/perc sebességgel infúzióban adagoljuk. Ezért a folyamatot az  m'(t)=-0.5m (t)+1   differenciálegyenlet írja le.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és m=0; 0.5; 1; 1.5; 2; 2.5; 3  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Oldja meg a differenciálegyenletet m(0)=0 kezdeti érték mellett (nem elég a végeredményt felírni!)