2. dolgozat - 2011. tanév

Fontos: Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Grafikus integrálás.  10 pont

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény deriváltja látható. Az ábra alapján mondja meg (ha lehet!), hogy hol van az F(x) függvénynek zéróhelye,  minimuma, maximuma és inflexiós pontja? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus és hasznos helyeken. Rajzoljon néhány primitív függvényt.

Column[{Plot[Evaluate[x^2(Sin[Pi x])],{x,-1.1,1.1},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}],
Plot[Evaluate[x^2(Sin[Pi x])],{x,-1.1,1.1},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y},PlotStyle->White,PlotRange->{-1,1}]}]

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 4+6 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál 7+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy a parciális integrálás módszerével:

∫(1/x) ((((ln(x)))^2)- (x^3) ln(x) )dx

Határozott integrál grafikusan, 5 pont

Határozza meg alábbi ábrán megadott függvény átlagát a [-3,4] intervallumon.

f:=Interpolation[{{-3,1},{-1,0},{0,0},{2,-2},{4,1}},InterpolationOrder->1]
Plot[f[x],{x,-3,4},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=(x^3)-x  és g(x)=2x függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Munka, 10 pont

A mozgó testre az elmozdulás irányában F(s)=(s/((s^2)+1)) nagyságú erő hat (függ a test helyétől). Számoljuk ki a végzett munkát az (Subscript[s, 1])=0  és  (Subscript[s, 2])=3  (méter) pozíciók között.

Numerikus integrál, 5 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,2] intervallumon vett integráljának jobboldali közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-0.3(x+1.5)(x)^2(x-2)+1
Plot[f[x],{x,-1.2,2.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{Range[-1,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic]

Változás, 20 pont

Valamely test mozgásának sebességét  az s'(t)=v(t)= (1-t)(e^(-t))  (mg/s) függvény írja le (s(t) a test pozíciója a t pillanatban)
a) (7 pont) Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét. 
b) (5 pont) Határozza meg a változást leíró s(t) függvényt ha s(0)=0.;
c) (3 pont) Határozza meg az  s(t) függvény maximumát (t>0). 
d) (5 pont) Mekkora utat tett meg a test a (Subscript[t, 1])=0  és a  (Subscript[t, 2])=3 pillanatok között (vigyázat, a sebesség előjelet vált).

Differenciálegyenletek, sejttenyészet szaporodása 15  pont

Az  p'(t)=-2p (t) +3  differenciálegyenlet írja le valamely sejttenyészetben a sejtek számának változását (folyamatosan pótoljuk az elhalt sejteket 3 g/h sebességgel), ahol p a sejtek össztömegét  jelenti mg-ban, a növekedési sebesség (g/h)-ban adott. 
a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzetet. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,p) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és  p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  2.5 értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet p(0)=0 kezdeti értékhez tartozó megoldását.

Fontos : Az alábbiakban található feladatok közt számos grafikus feladat is van. Indoklás nélkül a rajzos válaszok nem értékelhetők!

Grafikus integrálás.  10 pont

Az alábbi ábrán valamely F(x) függvény  deriváltja látható.
Az ábra alapján mondja meg, hogy az F(x) függvény pozitív, negatív, monoton növő, csökkenő, konvex, ill. konkáv? Ábrázolja az érintőmező elemeit az F(x) szempontjából kritikus helyeken. Rajzoljon néhány primitív függvényt.

Column[{Plot[Evaluate[0.3x+(Cos[Pi x/2])],{x,-3,3},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y}],
Plot[0,{x,-3,3},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{x,y},PlotStyle->White,PlotRange->{-2,2}]}]

Határozatlan  integrál, elemi módszerek, 4+6 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

Határozatlan  integrál 7+8 pont

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált a helyettesítés és/vagy parciális integrálás módszerével:

Határozott integrál grafikusan, 5 pont

f:=Interpolation[{{-4,2},{-2,2},{0,0},{1,-2},{3,1},{5,1}},InterpolationOrder->1]
Plot[f[x],{x,-4,5},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLines->{{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5},{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}},GridLinesStyle->Directive[Blue,Opacity[0.5]],AspectRatio->Automatic]

Területszámítás, 10 pont

Határozza meg az f(x)=-(x^3)+x  és g(x)=-2x függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Forgástest térfogata, 10 pont

Az f(x)=sin(x) függvény grafikonját megforgatjuk az x-tengely körül (0≤x≤π) . mennyi a kapott forgátest térfogata?

Numerikus integrál, 5 pont

Rajzolja be az ábrán és számolja ki az alábbi függvény [-1,2] intervallumon vett integráljának trapéz-közelítését a megadott beosztás esetén.

Clear[f,g]
f[x_]:=-0.3(x+2)(x)^2(x-2)+1
Plot[2-f[-x],{x,-1.2,2.1},PlotStyle->{Thickness[0.01]},PlotRange->{-0.5,1.5},GridLines->{Range[-1,2,0.5],None},AspectRatio->Automatic]

Változás, 20 pont

Valamely anyag mennyiségének (m(t)) a kiürülési sebességét az m'(t)=v(t)=(1/2) -((2t)/(1+(t^2)))(g/s) függvény írja le.

a) (7 pont)  Határozza meg a v(t) egy primitív függvényét.

b) (5 pont) Határozza meg a változást leíró m(t) függvényt ha m(0)=1;

c) (3 pont) Határozza meg az átlagos változási sebességet a (Subscript[t, 1])=1  és  (Subscript[t, 2])=3 pillanatok között.

d) (5 pont) Határozza meg a  m(t) függvény maximumát  (t>0).

Differenciálegyenletek, kémiai reakció, 15 pont

Az  m'(t)=2(2-m (t))  differenciálegyenlet írja le elsőrendű kémiai reakció során a végtermék mennyiségének változását, ahol m(t) a tömeg mg-ban, a sebesség mg/s-ban van megadva.

a) (5 pont) Határozza meg az egyensúlyi helyzeteket. Ábrázolja az egyenlet iránymezőjét a (t,m) koordinátarendszerben a t=0;1;2;3;4 és p=0; 0.5; 1; 1.5; 2;  értékekhez, illetve az egyensúlyi helyzetekhez tartozó rácspontokban.

b) (10 pont) Adja meg a differenciálegyenlet m(0)=0 kezdeti értékhez tartozó megoldását.