2. dolgozat - 2004. tanév

Elméleti kérdés. 5 pont.

A parciális derivált definíciója

Elemi függvények. 3+2 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

1-ln(x+1);   (e^(2x-1)).

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=sin(x^2)  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(( (e^(-x)))/x) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Grafikus integrálás. 10 pont.

Vázolja egy olyan függvény grafikonját, aminek a deriváltja az alábbi ábrán látható:

Plot[(x-1)^2x(x+1),{x,-1.1,1.3},AspectRatio->Automatic]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((((2x)^(1/4))-x)/(x^2))dx ,                          ∫ (1/(x (2-x)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítés, parciális integrálás. 10+10 pont.

Alkalmazza a helyettesítéses és parciális integrálás szabályait az alábbi integrál kiszámításában!

∫ln(x) ((1/x)- (x^2) )dx.

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x^2) -1 és g(x)=3x-1 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Kétváltozós függvény. 3+6+6 pont.

Határozza meg az  f(x,y) =((ln(y))/x) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y) koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1  értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenőrizze a parciális deriváltak vizsgálatával, hogy van-e a függvénynek lokális szélsőértéke.

Elméleti kérdés. 5 pont.

A L’Hospital szabály.

Elemi függvények. 3+2 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

1-(e^(-x));   ln(x-1).

Taylor polinom. 10 pont.

Keresse meg az f(x)=ln((x^2)+1)  függvény másodfokú Taylor polinomját az (Subscript[x, 0])=0 hely körül.

Határérték. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=(x/(ln(x))) függvény határértékét az értelmezési tartomány határainál.

Grafikus integrálás. 10 pont.

Vázolja egy olyan függvény grafikonját, aminek a deriváltja az alábbi ábrán látható:

Plot[(x-1)^3x(x+1),{x,-1.1,1.5},AspectRatio->Automatic]

Határozatlan integrál, elemi módszerek. 5+10 pont.

Keresse meg az alábbi határozatlan integrált az elemi integrálási szabályok felhasználásával:

∫((x-1)/(Sqrt[x]))dx ,                          ∫ ((1+2 x)/(x (2+x)))dx.

Határozatlan integrál, helyettesítés, parciális integrálás. 10+10 pont.

Alkalmazza a helyettesítéses és parciális integrálás szabályait az alábbi integrál kiszámításában!

∫(1/x) ((((ln(x)))^2)x-(1/(ln(x))))dx

Területszámítás. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=x-(x^2)+(x^3) -2 és g(x)=3x-2 függvények grafikonjai által határolt zárt tartomány területét!

Kétváltozós függvény. 3+6+6 pont.

Határozza meg az  f(x,y) =((e^x)/(e^y)) függvény értelmezési tartományát, és ábrázolja az (x,y)  koordinátarendszerben. Rajzolja fel a   z=0,-1,1  értékekhez tartozó  szintvonalakat is. Ellenőrizze a parciális deriváltak vizsgálatával, hogy van-e a függvénynek lokális szélsõértéke.