1. dolgozat
2012/2013 tanév, őszi félév

A. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 20% -os és 50%-os oldatot keverjünk össze, hogy 15 kg 45%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

(Sqrt[3  (Sqrt[27])]);	(((Sqrt[x]) y (z^3))/(x (y^(1/3))(z^2)));  (100^(-3lg 2));	(Subscript[log, x]) (1/(x^2)).

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenletet:

(3^((Subscript[log, 2])(5x-1)))=1.

Elemi függvények ábrázolása. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

-0.5x+1;  (1/x);   (Subscript[log, 1/2])x;     0.5(Sqrt[x+2])+1.

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(x+2)+1 függvényt.

paf=Plot[Min[2Abs[x-1],1]-1,{x,-2,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{-1,1}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(3^(x-1)) -2 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=(3^(-2x-1)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-2x/3+2)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=0.1*(10^(-0.5x+2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális maximuma van az x=2 helyen, nem differenciálható x=1-ben és nem folytonos x=0-ban..

Deriválási szabályok. 2+3+4+6 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(x^(1/99))-(Subscript[log, 3])x+e ;      ((sin(x))/(ln(x)));      (e^(-(x^3)+x));       ln(x (e^x)).

Derivált rajzolása. 6 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  x(x+1) (x-1.5)^3  (1.5^(- x^2)),{x,-1.,5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(t)= 2(Sqrt[t])-2t+1 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=1 helyen

Derivált grafikus elemzése. 6 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  x(x+1) (x-1.5)^3  (1.5^(- x^2)),{x,-1.,5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Függvényvizsgálat. 13 pont.

Tekintsük  az f(x)=((x^3)/3)-((x^4)/4)+1 függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

B. változat

rész. Alapfeladatok, 50 pont

Keverési feladat. 5 pont.

15% -os sóoldathoz mit (vizet vagy sót) és abból mennyit keverjük, hogy 20 kg 25%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 1+1+1+2 pont.

((-9  (Sqrt[3]))^(1/3));  	(((Sqrt[y]) x (z^2))/(y (x^(1/3))z));	     (0.01^(-2g 3)); 	 (Subscript[log, (x^2)]) x.

Egyenletek. 5 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

2*(3^x)-3*(3^(2x))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

-1+1.5x;      tg(x);     (Subscript[log, 3])((1/x));   1+(((x-2))^3).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(x-2)+0.5 függvényt.

paf=Plot[Min[1,1-Abs[2(x-1)]],{x,0,4},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,1.6}]

Inverz függvény. 5 pont.

Határozza meg az f(x)=(Subscript[log, 2])(x+2)+1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.

Felezési idő. 5 pont.

Adja meg az f(x)=(2^(-3x+1)) függvény felezési idejét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(4x/6-2)],{x,-1,7},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=10*(10^(-0.5x-2)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

rész. Derivált és alkalmazásai

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek inflexiós pontja van az x=-2 helyen,  lokális minimuma az x=1 helyen nem folytonos x=2-ben.

Deriválási szabályok. 2+3+4+6 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(1/(x^99))-cos(x)+π; 	(x^(1/9))(Subscript[log, 3])x ;	   sin((x^2)+1);	 ln(((3^x)/x));

Derivált rajzolása. 6 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[ Evaluate[-(x(x+1) (x-1.5)^3  (1.5^(- x^2)))/.x->(-x)],{x,-5,1},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(t)=-(t^(1/3))-(t^2)+1  függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=-1 helyen.

Derivált grafikus elemzése. 6 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[ Evaluate[-(x(x+1) (x-1.5)^3  (1.5^(- x^2)))/.x->(-x)],{x,-5,1},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f'(x)"]

Függvényvizsgálat. 13 pont.

Tekintsük  az f(x)=-(x^2)+((x^3)/3)+((x^4)/4) függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).