1. dolgozat - 2011. tanév

Keverési feladat. 5 pont.

Mennyi 15% -os és 60%-os oldatot keverjünk össze, hogy 20 kg 30%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

(((Sqrt[x]) (y-((Sqrt[y])/x)))/((x^2) (Sqrt[y])));	((-2  (Sqrt[8]))^(1/3));	((1/64)^(1/3));	  (1000^(-lg 2));	(Subscript[log, x]) (1/x).

Egyenletek. 3+4 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

-2+x+3 (x^2)=0;	 (2^((Subscript[log, 3])(x-1)))=8.

Elemi függvények ábrázolása. 1+1+1+2+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

-2x+3;  (1/(x^2));      (x^(1/3));     (2^(-x));     2(((x-2))^3)-1.

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(2x)+0.5 függvényt.

paf=Plot[Min[2Abs[x-1],1],{x,0,2},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,1.6}]

Inverz függvény és elemi transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=ln(x-2)+1 függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(3x/7-2)],{x,-2,8},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10^(-1.5x-1)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek lokális minimuma van az x=1 helyen, nem differenciálható x=2-ben és rendelkezik következő határértéktulajdonságokkal: (lim_(x->-∞))f(x)=0.

Deriválási szabályok. 2+3+4+6 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(1/(x^(1/5)))-ln(x)+π ;      ((2^x)/(x^(1/3)));      (e^(-(x^2)+1));       ln(x ln(x)).

Derivált rajzolása. 8 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja.  Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  4x(x-1)^2 (x+1)^3  (3^(- x^2)),{x,-2.5,1.5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(t)= 2(t^2)-3t-2 függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=-1 helyen

Derivált grafikus elemzése. 5 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[  4x(x-1)^2 (x+1)^3  (3^(- x^2)),{x,-2.5,1.5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Függvényvizsgálat. 12 pont.

Tekintsük  az f(t)=(t^2) (e^t) függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).

Keverési feladat. 5 pont.

5% -os sóoldathoz mit (vizet vagy sót) és abból mennyit keverjük, hogy 12 kg 20%-os oldatot kapjunk?

Algebrai és logaritmikus azonosságok. 5 pont.

(((Sqrt[z]) (x-((Sqrt[z])/z)))/((Sqrt[x]) z));      ((-8  (Sqrt[2]))^(1/5)); 	 (Subscript[log, 1/3]) 81;	  (0.01^(lg 3)); 	 (Subscript[log, x]) (Sqrt[x]).

Egyenletek. 3+4 pont.

Oldja meg az alábbi egyenleteket:

-1-x+2 (x^2)=0;	 2 (e^(3x))-3(e^(2x))=0.

Elemi függvények ábrázolása. 1+1+1+2+3 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

-2+0.5x;      (Sqrt[x]);     (Subscript[log, 3])((9^x));   ((((1/3)))^x);   1+ln(x-2).

Transzformáció ábrázolása. 5 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény esetén az f(0.5x)+0.5 függvényt.

paf=Plot[Min[1,2-Abs[2(x-1)]],{x,0,4},
AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0,1.6}]

Inverz függvény és elemi transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f(x)=2+(e^(-1+y)) függvény (OverBar[f])(x) inverzét.  Ábrázolja az f és  (OverBar[f]) függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

Plot[Log[10,10^(-2x/5+2)],{x,-2,8},AspectRatio->Automatic,
Ticks->{Table[{i,i},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],10.^i},{i,-5,4}]},GridLines->{Table[{i,Blue},{i,-4,10}],Table[{Log[10,10.^i],Blue},{i,-5,4}]},PlotStyle->{Thickness[0.01]},GridLinesStyle->Directive[Opacity[0.2]]]

Logaritmikus koordináta rendszer. 5 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát az [1,10] szakaszon. 
Ábrázolja az y=(10^(-0.5x+1)) függvényt 10-es alapú logaritmikus koordinátarendszerben.

Függvény rajzolása. 5 pont.

Rajzoljon egy olyan függvénygrafikont a derékszögű koordinátarendszerben, amelynek inflexiós pontja van az x=-2 helyen,  lokális maximuma az x=1 helyen és (lim_(x->∞))f(x)=-∞.

Deriválási szabályok. 2+3+4+6 pont.

Határozza meg a deriváltakat:

(1/(x^(1/3)))-(Subscript[log, 2])(x)+e; 	(3^x) (Sqrt[x]);	   ln((x^2)+1);	 ln(((e^x)/((x^2)+1)));

Derivált rajzolása. 8 pont.

Az alábbi ábra az f(x)  függvény grafikonját mutatja. Vázolja az f'(x) grafikonját.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[ Evaluate[-(( 4x(x-1)^2 (x+1)^3  (3^(- x^2))))/.x->(-x)],{x,-1.5,2.5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Érintő egyenlete. 5 pont.

Adja meg  az f(t)=-2(t^2)-3t-1  függvény grafikonjához húzott érintő egyenletét a (Subscript[t, 0])=-1 helyen.

Derivált grafikus elemzése. 5 pont.

Az alábbi grafikon az f(x)  függvény deriváltját mutatja. Határozza meg az f(x) függvény azon tulajdonságait, amelyekre következtethetünk.

Abs'[x_]=Sign[x];
Plot[ Evaluate[-(( 4x(x-1)^2 (x+1)^3  (3^(- x^2))))/.x->(-x)],{x,-1.5,2.5},PlotRange->All,AspectRatio->Automatic,PlotLabel->"f(x)"]

Függvényvizsgálat. 12 pont.

Tekintsük  az f(t)= ((t^2)+1) (e^t) függvényt. Végezzen függvényvizsgálatot (szélsőérték, monotonitás, konvexitás, inflexiós helyek).