1. dolgozat - 2003. tanév

Keverési feladat. 6 pont.

Egységnyi tömegű 50% -os oldatból  milyen módon kaphatunk 20% -os oldatot. Válasszon egy lehetséges  oldatot, és ezzel adja meg a pontos megoldást.

Elemi függvények. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(x^2)-1; ((((1/2)))^(-x));  tg(2x); ((((e^(ln x))))^2).

Grafikus feladat. 6 pont.

Rajzoljon egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely:
- függvénygrafikon, amelynek lokális maximuma van az x=1 és lokális minimuma van az x=2 helyen.

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f (x)=(1/5) (1-(5^x))  függvény inverzét. Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát. Ábrázolja a (-1,1),(1,-1),(1,1),(2,2), (3,3) pontokat (ha lehet!) és az y=(10^(-2x+1)) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 6 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét. Indokolja a megoldást.

p2=LogPlot[(10^(-0.5x+1)),{x,0,5},GridLines->{Automatic,{0.1,1,10,100}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0.01,100}]

Deriválás. 2+3+3+4 pont.

Állapítsa  meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(x^3)-3x-cos(x)-e;  sin(x)(Sqrt[x-π]) ;         ln( -(e^x));      (Subscript[log, 2])((3^x)-1).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Az f(x)=((e^x)/(2+(e^x))) függvény egy telítődési folyamatot ír le (logisztikus növekedés). Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=0 helyen. Ennek segítségével adjon közelítést az f(0.1) értékre.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja az alábbi f(x)  függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[Evaluate[(-(x+1.6)  (1.3^(-1.5Abs[x]^1.5)) Abs[x-1])],{x,-7,7},AspectRatio->0.5,PlotRange->{-2,1}]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Az f(x)=(e^(-2x))-(e^(-3x)) függvény valamely anyag koncentrációjának változását  írja le a szervezetben (szakmai ismeretek két év múlva). Határozza meg a koncentráció legnagyobb értékét és a legygyorsabb változás helyét.   Végezzen teljes fügvényvizsgálatot (monotonitás, konvexitás, szélsőértékhelyek és inflexiós pontok). Ábrázolja a függvényt.

Keverési feladat

Egységnyi tömegű 50% -os oldatból  milyen módon kaphatunk 70% -os oldatot. Válasszon egy lehetséges oldatot, és ezzel adja meg a pontos megoldást.

Elemi függvények. 2+2+2+4 pont.

Adja meg az az alábbi függvények értelmezési tartományát és rajzolja fel a grafikonját:

(x^(1/3));  (3^(-x+1));  sin(3 x);  (e^((((Sqrt[x])))^2)).

Grafikus feladat. 6 pont.

Rajzoljon egy olyan görbét a derékszögű koordinátarendszerben, amely:
- függvény grafikonja, amelynek lokális minimuma van az x=1 és inflexiós  pontja az x=2 helyen.

Inverz függvény, transzformációk. 10 pont.

Határozza meg az f (x)=(Subscript[log, 3])(x-2)+1  függvény inverzét. Ábrázolja a függvényeket.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Rajzolja fel a 10-es alapú logaritmikus skálát. Ábrázolja a (-1,2),(1,-2),(1,2),(2,3), (2,0.3)pontokat (ha lehet!) és az y=(10^(2x-1.5)) függvényt logaritmikus koordinátarendszerben. Ha szükséges, becsülje meg az adott pont helyét.

Logaritmikus koordináta rendszer. 10 pont.

Írja fel az alábbi grafikonnal megadott függvény képletét.

pb2=LogPlot[(10^(.5x-1)),{x,0,5},GridLines->{Automatic,{0.1,1,10,100}},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{0.01,100}]

Deriválás. 2+3+3+4 pont.

Állapítsa meg, hol deriválhatók az alábbi függvények. Határozza meg a deriváltakat.

(x^2)-5x+sin(x)-(Sqrt[2;])     (2^x)(Sqrt[e-x]);       ln(-(x^2));    (((((e^(ln(x)))))^2)/(sin(x) )).

Érintő egyenlete. 10 pont.

Az f(x)=(1/(2+(e^(x-1)))) függvény egy kiürülési folyamatot ír le (logisztikus csökkenés). Adja meg az érintő egyenletét az (Subscript[x, 0])=1 helyen. Ennek segítségével adjon közelítést az f(1.1) értékre.

Derivált keresése grafikusan. 10 pont.

Vázolja fel az alábbi f(x) függvény deriváltját. Jelölje be az f(x) lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait.

Plot[Evaluate[((x+1.5)  (1.3^(-1.5Abs[x]^1.6))Abs[x-1])/.(x->-x)],{x,-6,6},AspectRatio->0.5,PlotRange->{-1,1.8}]

Függvényvizsgálat. 20 pont.

Az f(x)=(x^2) (e^(-x)) függvény egy járvány esetén az x pillanatban betegek arányát adja meg. Határozza meg az a pillanatot, amikor a betegek aránya a legnagyobb (maximum), illetve amikor a növekedés ill. csökkenés sebessége a legnagyobb. Végezzen teljes fügvényvizsgálatot (monotonitás, konvexitás, szélsőértékhelyek és inflexiós pontok). Ábrázolja a függvényt.