Karsai János
Impulzív jelenségek modelljei
Mathematica kísérletek
Typotex Kiadó, Budapest
2002
Előszó
A mindennapi
tapasztalatok alapján megszoktuk, hogy a természetben lejátszódó folyamatok időben
és térben folytonosan változnak. Gyakran előfordul azonban, hogy valamely hatás
egészen rövid idő alatt, vagy akár egy pillanat alatt zajlik le. Ebben az
utóbbi esetben impulzusról beszélünk. Többek között, ilyen jelenségekkel
találkozunk diszkrét, szakaszos vezérléseknél, az ismételt gyógyszeradagolás
modelljeiben, illetve populációdinamikai és epidemiológiai problémákban. A
bonyolult matematikai formalizmusok miatt a kísérleti vizsgálat kiemelten
hasznos és informatív, és gyakran meggyőzőbb, mint a szigorú matematikai
módszerek.
A nagyteljesítményű,
realisztikus grafikus képességekkel rendelkező számítógépek megjelenésével a
számítógépes vizualizáció és a szimuláció a tudományos kutatás és az oktatás
szerves részévé vált. Ezek az eszközök segítenek a problémák megértésében és
értelmezésében. Az alkalmazott tudományok által vizsgált jelenségek gyakran
bonyolult matematikai modellekkel, például impulzusokkal írhatók le. Ezek
vizsgálatában a számítógéppel segített modellezés szerepe egyre növekszik. Ezt
a tényt messzemenően figyelembe vettük a fejlesztés során. Nem klasszikus
elméleti tankönyvet szándékoztunk írni. Példákon, kísérleteken keresztül
szeretnénk megismertetni az olvasót az impulzív rendszerekkel és számítógépes
vizsgálatuk alapvető módszereivel, és ezen keresztül a számítógéppel segített
modellezés néhány lépésével. A könyv egyben programgyűjtemény is, aminek
segítségével az olvasó maga is végezhet kísérleteket.
A matematikai elmélet
újszerűsége és a felmerülő technikai problémák okozzák, hogy az impulzív
rendszerek megoldása nincs megvalósítva egyetlen matematikai programcsomagban
sem. A könyv számára az impulzív rendszereket megoldó és a megjelenítést
segítő programcsomagokat fejlesztettünk ki a Mathematica rendszerben. A
kísérleteket ezek segítségével végeztük.
A munka felépítésében,
tárgyalásmódjában közelebb áll a kísérletes tudományokban megszokotthoz. Az
egyes jelenségekre vonatkozó elméleti fogalmak, fontosabb módszerek, és
technikai eszközök áttekintését a Mathematica rendszerben (Wolfram
Research) készült számítógépes kísérletek, szimulációk segítségével vizsgált
példák követik (figyelve a módszerek hiányosságaira és veszélyeire!). A
kísérletek alapján következtünk tulajdonságaikra, illetve fogalmazunk meg
sejtéseket viselkedésükre vonatkozóan. Mindvégig hangsúlyozzuk a számítógéppel
segített kísérletezést és a vizuális gondolkodást a formális módszerekkel
szemben. Az alkalmazó olvasót nem fárasztjuk a formális megoldásokkal,
bizonyításokkal. A matematikus olvasóról
feltételezzük, hogy járatos a szükséges analízis, differenciál- és
differenciaegyenletekkel kapcsolatos módszerek alkalmazásában, ezért számára a
tételek, és a kísérleti tapaszalatok igazolását feladatként fogalmazzuk meg. A
kidolgozott kísérletek modellezési sémaként is felhasználhatók. Ezek alapján
további jelenségek kísérleti vizsgálatára teszünk javaslatot. A feladatok
között néhány megoldatlan problémára is felhívjuk a figyelmet.
Az könyv három fő részből áll. Az előkészítő rész néhány
a számítógépes megjelenítéssel kapcsolatos lehetőséget és a közönséges
differenciálegyenletek számítógépes vizsgálatának alaplépéseit tartalmazza.
Ezután foglalkozunk az impulzív rendszerekkel, tulajdonságaikkal, néhány fontos
kvalitatív eljárással és a vizsgálatukhoz szükséges számítógépes módszerekkel.
A harmadik részben alkalmazásokat tekintünk, impulzív és nem impulzív hatásokat
vetünk össze. Az irodalomjegyzékben felsorolunk elméleti monográfiákat,
számítógépes modellezéssel kapcsolatos műveket és az újabb eredményeket
tartalmazó néhány publikációt.
A tárgyalt
számítógépes módszerek, programok közvetlenül alkalmazhatók közönséges
differenciálegyenletekre és differenciaegyenletekre. Foglalkozunk a fontosabb
módszerek differenciálegyenletekre való alkalmazásával.
A könyvhöz
elektronikus melléklet készült, ami letölthető a http://silver.szote.u-szeged.hu/karsai/impulsebook web-címről. Ez
tartalmazza a fontosabb ábrák színes változatait, a nyomtatásban nem
megjeleníthető számítógépes animációkat, és a könyv számára fejlesztett
programcsomagokat. Tartalmaz továbbá egy Mathematica bevezetőt azok
számára, akik még nem járatosak a számítógépes matematikai rendszerek, a
szimulációs és vizualizációs módszerek használatában. Ez segítheti a kezdő
olvasót a számítógépes vizsgálatok elkezdésében. Itt található még a
számítógépes modellezés néhány elemével foglalkozó kiegészítő fejezet, mint
például az adatkezelések, transzformációk, szélsőérték keresés, görbeillesztés.
Az "olvasáshoz" nem szükséges a Mathematica (a futtatáshoz
igen!). Elegendő a MathReader, amely a melléklet része, vagy letölthető
a Wolfram Research web-lapjáról.
A TypoTex kiadótól
megrendelhető CD-n a teljes futtatható változat is. Ez egy Mathematica
jegyzettömb-gyűjtemény, amely tartalmazza az öszes technikai részletet és a
programcsomagokat. A kidolgozott kísérletek eredeti formában vagy módosítva
újra futtathatók, ezek alapján újak készíthetők.
A fentiek alapján
remélhetően nem csak azok számára lesz hasznos a könyv
illetve a CD, akik szeretnének megismerkedni az impulzív rendszerekkel és
számítógépes vizsgálatuk módszereivel, hanem azok számára is akik már jártasak
az elméletben, és kutatásaikat szeretnék számítógépes vizsgálatokkal támogatni.
Reméljük, hogy a más számítógépalgebrai rendszert, például Maple-t
használók is hasznosnak találják majd.
A számítógépes
projektek nagy része a Szegedi Tudományegyetem Orvosi Informatikai Intézetében
tartott Számítógéppel segített matematikai modellezés és a Technische
Fachhochschule Berlin hallgatói számára tartott Computeralgebra I-II
kurzusok számára készültek. Szeretném megköszönni barátaimnak, kollégáimnak és
diákjaimnak a buzdítást, az együttműködést, az ötleteket és javaslatokat,
valamint a lektorálást, a támogatók és a kiadó bátorságát, amelyekkel
segítették az anyag elkészültét és kiadását.
Karsai
János