Karsai János

Impulzív jelenségek modelljei

Mathematica kísérletek

 

Typotex Kiadó, Budapest

2002

 

 

Előszó

 

A mindennapi tapasztalatok alapján megszoktuk, hogy a természetben lejátszódó folyamatok időben és térben folytonosan változnak. Gyakran előfordul azonban, hogy valamely hatás egészen rövid idő alatt, vagy akár egy pillanat alatt zajlik le. Ebben az utóbbi esetben impulzusról beszélünk. Többek között, ilyen jelenségekkel találkozunk diszkrét, szakaszos vezérléseknél, az ismételt gyógyszeradagolás modelljeiben, illetve populációdinamikai és epidemiológiai problémákban. A bonyolult matematikai formalizmusok miatt a kísérleti vizsgálat kiemelten hasznos és informatív, és gyakran meggyőzőbb, mint a szigorú matematikai módszerek.

A nagyteljesítményű, realisztikus grafikus képességekkel rendelkező számítógépek megjelenésével a számítógépes vizualizáció és a szimuláció a tudományos kutatás és az oktatás szerves részévé vált. Ezek az eszközök segítenek a problémák megértésében és értelmezésében. Az alkalmazott tudományok által vizsgált jelenségek gyakran bonyolult matematikai modellekkel, például impulzusokkal írhatók le. Ezek vizsgálatában a számítógéppel segített modellezés szerepe egyre növekszik. Ezt a tényt messzemenően figyelembe vettük a fejlesztés során. Nem klasszikus elméleti tankönyvet szándékoztunk írni. Példákon, kísérleteken keresztül szeretnénk megismertetni az olvasót az impulzív rendszerekkel és számítógépes vizsgálatuk alapvető módszereivel, és ezen keresztül a számítógéppel segített modellezés néhány lépésével. A könyv egyben programgyűjtemény is, aminek segítségével az olvasó maga is végezhet kísérleteket.

A matematikai elmélet újszerűsége és a felmerülő technikai problémák okozzák, hogy az impulzív rendszerek megoldása nincs megvalósítva egyetlen matematikai programcsomagban sem. A könyv számára az impulzív rendszereket megoldó és a megjelenítést segítő programcsomagokat fejlesztettünk ki a Mathematica rendszerben. A kísérleteket ezek segítségével végeztük.

A munka felépítésében, tárgyalásmódjában közelebb áll a kísérletes tudományokban megszokotthoz. Az egyes jelenségekre vonatkozó elméleti fogalmak, fontosabb módszerek, és technikai eszközök áttekintését a Mathematica rendszerben (Wolfram Research) készült számítógépes kísérletek, szimulációk segítségével vizsgált példák követik (figyelve a módszerek hiányosságaira és veszélyeire!). A kísérletek alapján következtünk tulajdonságaikra, illetve fogalmazunk meg sejtéseket viselkedésükre vonatkozóan. Mindvégig hangsúlyozzuk a számítógéppel segített kísérletezést és a vizuális gondolkodást a formális módszerekkel szemben. Az alkalmazó olvasót nem fárasztjuk a formális megoldásokkal, bizonyításokkal. A matematikus olvasóról feltételezzük, hogy járatos a szükséges analízis, differenciál- és differenciaegyenletekkel kapcsolatos módszerek alkalmazásában, ezért számára a tételek, és a kísérleti tapaszalatok igazolását feladatként fogalmazzuk meg. A kidolgozott kísérletek modellezési sémaként is felhasználhatók. Ezek alapján további jelenségek kísérleti vizsgálatára teszünk javaslatot. A feladatok között néhány megoldatlan problémára is felhívjuk a figyelmet.

Az könyv három fő részből áll. Az előkészítő rész néhány a számítógépes megjelenítéssel kapcsolatos lehetőséget és a közönséges differenciálegyenletek számítógépes vizsgálatának alaplépéseit tartalmazza. Ezután foglalkozunk az impulzív rendszerekkel, tulajdonságaikkal, néhány fontos kvalitatív eljárással és a vizsgálatukhoz szükséges számítógépes módszerekkel. A harmadik részben alkalmazásokat tekintünk, impulzív és nem impulzív hatásokat vetünk össze. Az irodalomjegyzékben felsorolunk elméleti monográfiákat, számítógépes modellezéssel kapcsolatos műveket és az újabb eredményeket tartalmazó néhány publikációt.

A tárgyalt számítógépes módszerek, programok közvetlenül alkalmazhatók közönséges differenciálegyenletekre és differenciaegyenletekre. Foglalkozunk a fontosabb módszerek differenciálegyenletekre való alkalmazásával.

A könyvhöz elektronikus melléklet készült, ami letölthető a http://silver.szote.u-szeged.hu/karsai/impulsebook web-címről. Ez tartalmazza a fontosabb ábrák színes változatait, a nyomtatásban nem megjeleníthető számítógépes animációkat, és a könyv számára fejlesztett programcsomagokat. Tartalmaz továbbá egy Mathematica bevezetőt azok számára, akik még nem járatosak a számítógépes matematikai rendszerek, a szimulációs és vizualizációs módszerek használatában. Ez segítheti a kezdő olvasót a számítógépes vizsgálatok elkezdésében. Itt található még a számítógépes modellezés néhány elemével foglalkozó kiegészítő fejezet, mint például az adatkezelések, transzformációk, szélsőérték keresés, görbeillesztés. Az "olvasáshoz" nem szükséges a Mathematica (a futtatáshoz igen!). Elegendő a MathReader, amely a melléklet része, vagy letölthető a Wolfram Research web-lapjáról.

A TypoTex kiadótól megrendelhető CD-n a teljes futtatható változat is. Ez egy Mathematica jegyzettömb-gyűjtemény, amely tartalmazza az öszes technikai részletet és a programcsomagokat. A kidolgozott kísérletek eredeti formában vagy módosítva újra futtathatók, ezek alapján újak készíthetők.

A fentiek alapján remélhetően nem csak azok számára lesz hasznos a könyv illetve a CD, akik szeretnének megismerkedni az impulzív rendszerekkel és számítógépes vizsgálatuk módszereivel, hanem azok számára is akik már jártasak az elméletben, és kutatásaikat szeretnék számítógépes vizsgálatokkal támogatni. Reméljük, hogy a más számítógépalgebrai rendszert, például Maple-t használók is hasznosnak találják majd.

A számítógépes projektek nagy része a Szegedi Tudományegyetem Orvosi Informatikai Intézetében tartott Számítógéppel segített matematikai modellezés és a Technische Fachhochschule Berlin hallgatói számára tartott Computeralgebra I-II kurzusok számára készültek. Szeretném megköszönni barátaimnak, kollégáimnak és diákjaimnak a buzdítást, az együttműködést, az ötleteket és javaslatokat, valamint a lektorálást, a támogatók és a kiadó bátorságát, amelyekkel segítették az anyag elkészültét és kiadását.

 

Karsai János