A következőkben bemutatjuk, hogyan lehet különböző számítógépes lehetőségek integrált felhasználásával a fenti területekhez kapcsolódó ismereteket tanítani, a diákok számára megközelíthetővé tenni.

Témakör: Függvénytranszformációk, egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása, trigonometrikus és logaritmikus stb. azonosságok

 

Helye a tananyagban: Bárhol, ahol a fenti fogalmak bármilyen módon (új ismeretként, használandó eszközként stb.) előkerülnek.

 

Javasolt korosztály: 8. osztálytól középiskola végéig

 

Eszközigény (a zárójelben találhatók opcionálisak): Számítógép, projektor, GeoGebra, (internet, interaktív tábla).

 

A feldolgozás javasolt módja: Tanítási órán, annak egy részeként, vagy a teljes órán, órákon, illetve szakköri foglalkozáson.

 

            A függvénytranszformációk témaköre (szinte) minden középiskolai évfolyamon előkerül, s a táblára krétával, filccel igen nehéz szép, használható, jól látható, könnyen módosítható, pontos ábrákat készíteni. Ezért használhatjuk erre a célra is a GeoGebrát, illetve azt kiegészítendő a www.wolframalpha.com oldalon elérhető mindentudó tudományos keresőt, és a Google függvény megjelenítő funkcióját. Ezek a lehetőségek ingyenesek, gyorsak, bárki számára elérhetőek, s ha valaki letölti, a GeoGebra még internetet sem igényel. A programok, illetve interaktív felületek használata gyors, egyszerű, nem igényel programozási ismereteket, de még gyakorlatilag bonyolult szintakszist sem kell megtanulnunk hozzá, csak minimális mértékben. Kompatibilisek okostelefonokkal, táblagépekkel is, így akár útban hazafelé is megoldható, illetve kitűzhető velük az ilyen jellegű házi feladat. Kiemelt előnyük, hogy nem csak függvények ábrázolására, de a transzformációk szemléltetésére, valamint egyenletek és egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek grafikus megoldására, azonosságok igazolására (szemléltetésére) is alkalmasak.

 

           

            Az alábbiakban képernyőképekkel illusztrálom a digitális tananyag készítésének és használatának legfontosabb fázisait. A tananyagokat mindig előre elkészítem, de csak tartalékba, a biztonság kedvéért. A segédanyagok lehetőség szerint mindig az órán készülnek, a diákok szeme láttára „online”. Ebből látják, hogy gyorsan, egyszerűen el lehet őket készíteni, nem kell hozzá „felsőbb” tudás, vagy rengeteg idő. (Kivételt képeznek azok az esetek, amikor a készítés során rejtett, a tanulók számára feladatként ki/megtalálandó információ is felhasználásra kerül.)

 

1. Függvénytranszformációk

 

Előkészületek: A függvénytranszformációk ábrázolásához egy üres geogebra fájlban megjelenítjük a rácsot és a koordináta rendszert, majd készítünk három csúszkát (a, b, c) igény szerinti tartományon (pl. -5-től 5-ig), s megadjuk, hogy a csúszka beosztását -ezt célszerű egynek választani-, az általunk használt c paraméter esetében esetleg 0,5-nek.

 

1. ábra GeoGebra indulás - A csúszkák

 

Ezek után definiálhatunk egy, vagy több függvényt $c\cdot f(ax+b)$  alakban (pl. $c\cdot |ax+b| .) Az első megjelenítés előtt a paramétereket érdemes alapállapotba helyezni, a=b=0, c=1 formában.

 

2. ábra Függvények paraméterekkel

 Ezek után különböző, a transzformációkhoz kacsolódó kérdéseket tehetünk fel, illetve feladatokat tűzhetünk ki:

 

Kérdés: Hol, ezen grafikonhoz képest hogyan helyezkedik el a g(x)=|x|+1 függvény grafikonja? Hol helyezkedik el a h(x)=|x|-2 függvény grafikonja?

 

Interaktív (vagy filces) tábla esetén elő is rajzoltathatjuk a diákokkal a függvény várt képét. Meg is szavaztathatjuk az eredményt, vagy ami ilyenkor még lelkesebb közönségre szokott találni, meg is kérhetjük, a különböző véleményen lévőket, hogy próbálják egymást meggyőzni. Ez idő alatt mindenkinek van ideje lerajzolni a függvény grafikonját a füzetbe. Fontos, hogy nyoma maradjon minden lényeges órai momentumnak.

 

            A GeoGebra lehetőségeit kihasználva meg is tudjuk jeleníteni, hogyan „mozog” a függvény grafikonja, a b paraméter sűrítésével, animálással, a nyomvonal megjelenítésével.

3. ábra Animáció és nyomvonal - Hogyan kerül oda a grafikon?

 

Így, mivel szinte végtelen sok transzformáltat láthatunk egyszerre, láthatóvá tesszük magát a transzformációs folyamatot, melyet számítógép segítsége nélkül nem tudnánk megtenni.

 

Ha más típusú változóérték transzformációt is meg szeretnénk jeleníteni, szükségünk lehet egy d paraméterre is.

 

4. ábra Több paraméter, több lehetőség

A paramétereket maguk a diákok is változtathatják, a digitális táblán akár az ujjukkal is. Így a tanulói aktivitás fizikai formában is megvalósul, ami különösen fontos, hiszen az ilyen jellegű, nem mindennap, minden órán előforduló tanulói munkaformához kötődő ismeretek jobban megragadnak.

 

Fordított irányú feladatokat (grafikonok felismerést, a grafikonjával adott függvény hozzárendelési szabályának megtalálását) is könnyen kitűzhetünk, hála annak, hogy akár a paraméterek, akár a grafikonok könnyedén eltüntethetők, akár a GeoGebra funkcióit használva, akár a Smartboard redőnyfunkciójával.

 

5. ábra Rejtett algebra ablak - Mely függvények grafikonjai láthatók az ábrán?

A GeoGebra táblázatkezelő funkciójának segítségével egyszerűen készíthetünk korábban ábrázolt függvényekhez értéktáblázatot, s a grafikon elrejtésével, az értéktáblázat megjelenítésével feladatul tűzhetjük ki adott értéktáblázatból a grafikon megjelenítését, a hozzárendelési szabály megállapítását.

 

Feladat: Ábrázoljuk az adott értéktáblázatban koordinátáikkal szereplő pontokat a koordináta rendszerben, majd ábrázoljuk a pontokra illeszkedő, másodfokú, illetve lineáris törtfüggvény grafikonját, s adjuk meg a függvények hozzárendelési szabályát! Az A oszlop az abszcisszákat, a B illetve a C oszlop a keresett két függvényre illeszkedő pontok ordinátáit tartalmazza!

 

A számítógép korlátaira, az interaktív rendszerek kritkus használatra is nevelnünk kell!

 

Feladat: Mit jelent a táblázatban megjelenő végtelen érték? Hogyan értelmeznéd? Te mit írnál helyette?

 

 

6. ábra Értéktáblázat és értelmezése

 

7. ábra Grafikonok és hozzárendelési szabályok az értéktáblázat alapján

 

A következőkben két másik egyszerű lehetőséget mutatunk függvények ábrázolására, majd kitérünk ezen rendszerek integrált használati lehetőségének bemutatására.

Függvények megjeleníthetők a hozzárendelési szabályuk Google keresőjébe történő beírásával is, illetve a Wolramalpha mindentudó keresőjével is.

 

8. ábra Google  

                                                                

    9. ábra Wolframalpha

 

A Wolframalpha professzionális alkalmazás, megadja a grafikont több közelítésben (zoomolni persze a GeoGebrában és a Google-ban is lehet), megadja a kifejezés több alakját (jelen esetben többek között a gyöktényezőset is), a zérushelyeket, az értelmezési tartományt, értékkészletet, a deriváltat, a határozatlan integrált, a grafikon alatti területet. Az oktatás számos szintjén és fázisában is használható tehát.

 

Funkcióit kihasználhatjuk pl. a zérushely meghatározásához.

 

Függvények jellemzése: Tekintsük ehhez a következő feladatot!

 

Feladat: Ábrázoljuk és jellemezzük az $f(x)=(x-2)^2+2$  függvényt!

 

GeoGebrában (papíron stb.) ábrázolva, a zérushely marad az egyetlen, nem közvetlenül leolvasható jellemző. A zérushely egyszerűen megjeleníthető a Geoebra metszéspont funkciójával, a görbe és az x tengely metszéspontjaként. A metszéspont koordinátáit (persze csak az abszcissza fontos) több tizedesjegyig kiíratva, lesz egy közelítő értékünk.

 

10. ábra A zérushely mint metszéspont

 

Az értéket a Wolframalpha-ba másolva érdekes eredményre juthatunk:

 

11. ábra Mit tudhat a Wolramalpha egy közelítő értékről?

A program megadja (persze nem minden esetben, s erre, a kritikus használatra mindenképp fel kell hívnunk diákjaink figyelmét) az általunk is elvárt eredményt. Fontos azonban, hogy a diákok lássák, ez a helyes, nem csak egy lehetséges érték. Alapvető fontosságú, hogy ne bízzunk vakon a gépben, le is kell tudnunk vezetni az eredményt, az inverzműveletek megfelelő sorrendben történő alkalmazásával. Ez jelenti a tényleges matematikai tudást. A fenti levezetést, sejtetést azonban nem szabad megtagadni a mai kor digitális bennszülötteitől. Hiszem, hogy ez az a módszer, illetve interpretálási forma, amely felkelti az érdeklődésüket, közelebb hozza hozzájuk a matematikát.

 

2.      Egyenletek megoldása

 

Egyenletek grafikus megoldásához is kiváló segítséget nyújt a GeoGebra, akár paraméteresen jelenítjük meg függvényeinket, akár a hozzárendelési szabály közvetlen megadásával.

Példaként tekintsük a következő néhány feladatot:

 

Feladat: Oldjuk meg az $|x-2|+1=\frac{2}{x}$

egyenletet!

 

A feladat digitális táblán történő megoldását az alábbi táblakép örökíti meg.

 

 

12. ábra Megoldás, ellenőrzés

Feladat: Oldjuk meg a $|||x-1|-1|-1|=\log_2(x-1)$ egyenletet! Mit kezdhetünk a nem egész megoldással?

 

 

13. ábra Mi a baj ezzel a megoldással?

 

 

 

Feladat: Adjuk meg a $\sqrt{(x^2-6x+5)^2}=p$ egyenlet megoldásainak számát a p paraméter függvényében!

 

 

14. ábra Hány megoldás van?

 

Az utolsó bekezdésben a trigonometrikus azonosságok számítógépes animációkkal való tanítására mutatunk egy példát.

 

3.      Azonosságok

 

Készítsük el GeoGebrában az  függvény grafikonját, valamint egy csúszka segítségével vegyük fel a $P(a, \cos(\pi-a))$ koordinátájú pontot, melyet megjelenítünk, de a koordinátáit rejtve tartjuk! Animáljuk a pont mozgását, miközben az a paraméter értéke -10 és 10 között változik, 0,1-es beosztássűrűség mellett! Néhány kör után jelenítsük meg a pont nyomvonalát!

 

Végezzük el az alábbi, irányított tanári kérdéseken keresztüli kísérletet:

 

Kérdés: Hol halad a pont?

 

Lehetséges tanulói válasz: A pont láthatóan a cos x függvény x tengelyre vett tükörképe mentén halad, tehát a rejtett görbe meggyőzően sok helyen vett értéke alapján tapasztaltak szerint az y=-cos x függvény grafikonja.

 

 

15. ábra Hol halad a pont?

 

Az y=-cos x függvény grafikonját kirajzolva, a pontot tovább animálva, empirikus úton szerzett meggyőződésünk megdönthetetlenné válik.

 

 

16. ábra Akkor ez most -cos x?

 

Ekkor, a mozgó pont valódi koordinátáit megjelenítve láthatóvá válik, hogy a pont által leírt görbe az $y=\cos(\pi-x)$.

 

 

17. ábra Az azonosság

 

A fentiek alapján tűzzünk ki bátran saját feladatokat, készítsünk igazolásokat más (például logaritmikus) azonosságok igazolásához!